Nowy wzór na podwojenie majątku (poprawiona reguła 72)
Żyjący na przełomie XV i XVI wieku włoski matematyk Luca Pacioli który jest określany ojcem rachunkowości (wprowadził zasadę podwójnego zapisu w księgach rachunkowych) nie mógł przypuszczać że kilka wieków później będzie tematem tego artykułu…
Chodzi o jedną z zasad „matematyki procentów” (Reguła 72) którą opisał w 1494 roku w swoim największym dziele Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità.
Ta cudowna w swojej prostocie reguła nieumiejętnie użyta ma poważny problem… Czasem jest bardzo niedokładna. Postanowiłem ją „poprawić”.
W czym przeszkadza jej błędne użycie? Pokazuje zbyt optymistyczne wyniki w kontekście pomnażania majątku. Błędne.
To nie jest tak że reguła, jedna z wielu opisanych w opasłym dziele Paciolego jest zła. Reguła 72 jest doskonała od strony matematycznej. Zachwycał się nią nawet Einstein (któremu zresztą błędnie przypisuje się jej opracowanie). W praktyce inwestowania trzeba tylko wiedzieć jakie poprawne dane podstawić do wzoru. Ale zacznijmy od początku.
Przypomnijmy Zasadę 72 (lub Regułę 72)
Jest to dobrze znana w świecie finansów reguła pozwalająca w prosty sposób policzyć w przybliżeniu
po ilu latach pomnożymy kapitał przy określonym oprocentowaniu.
Reguła jest bardzo prosta:
dzielimy liczbę lat przez oprocentowanie (usuwając znak %).
Przykładowo: Po ilu latach podwoję zainwestowany kapitał jeżeli mam:
- inwestycję która zarabia 8% rocznie? Odpowiedź: po 9 latach (ponieważ: 72/8=9)
- mam lokatę która zarabia 6% rocznie? Odpowiedź: po 12 latach (72/6=12)
- biznes który zarabia 14% rocznie? Odpowiedź: po 5 latach i 2 miesiącach (ponieważ: 72/15=5,14)
W szkole uczono mnie że w każdym zadaniu powinno pojawić się sprawdzenie.
Policzmy jaki wynik da inwestycja 6% w ciągu 12 lat?
Dla przypomnienia wzór (liczony procentem składanym):
Czyli prosta obliczenia: (1,06)^12-1 daje wynik 101,2%.
Czyli w przybliżeniu się zgadza (ponieważ podwojenie kapitału to zysk 100%). Zresztą od zawsze podkreśla się że ta reguła daje wynik w uproszczeniu. Aby nie wnikać w szczegóły – można 'pobawić’ się tą regułą i przy wysokich procentach jej dokładność będzie malała – ale w sposób naprawdę nieistotny – o ile nie przekroczymy 20% zysku rocznego (wtedy różnica w wyniku rzeczywistym a liczonym Regułą 72 przekroczy 4%).
I to jest właśnie siła tej reguły. Prostota.
To co jest z nią nie tak?
Pierwszy problem to dokładność przy większych procentach
Tak prosta reguła w połączeniu z matematyką procentów nie może być zawsze doskonała. W skrócie – sprawdza się dobrze przy oprocentowaniu rocznym użytym we wzorze na poziomie do około 20%. Przy wyższych procentach rozbieżność od rzeczywistego wyniku będzie przekraczać 4%.
Ale nie to jest najważniejsze.
Dużym problemem z użyciem Reguły 72 są… podatki i inflacja
Jeżeli czytasz moje artykuły to wiesz że jestem ’pasjonatem inflacji’ (a raczej uwzględniania inflacji w obliczeniach finansowych – inflacji bardzo nie lubię!). Stąd np. portal inflacja.pl.
Z pewnością rozumiesz że:
podatek (od zysków kapitałowych) oraz inflacja mocno wpływają na wynik inwestycji.
A tym samym wpływają na błędne wyniki jeżeli do Reguły 72 użyjesz 'uproszczonych danych’. Czyli zysku bez podatku i bez uwzględnienia inflacji.
Z podatkiem można sobie łatwo poradzić
Wystarczy do Reguły 72 podstawić oprocentowanie roczne pomniejszone o podatek (19% podatek od zysków kapitałowych).
Wtedy:
- zamiast: inwestycja która zarabia 8% rocznie podwoi kapitał po 9 latach (ponieważ: 72/8=9)
- będzie: inwestycja która zarabia 6,48% rocznie (8% minus 19%podatku) podwoi kapitał po 11 latach i 2 miesiącach (ponieważ: 72/6,48=11,1)
Jak widzisz samo uwzględnienie podatku robi dużą różnicę: kapitał podwajam już nie po 9 latach lecz ponad 11. Czyli potrzebuję na to o 23,5% więcej czasu!
Do pełni szczęścia brakuje jeszcze inflacji…
Po co? Aby uwzględnić realną wartość pieniądza.
Tu wystarczy ponownie (niestety) zmniejszyć zysk po opodatkowaniu o przyjęty do obliczeń wskaźnik inflacji.
Uwaga: Zysk 5% minus 3% to inflacji to nie jest 2% zysku ponad inflację!
Tu trzeba użyć wzoru:
Czyli w przykładzie: (5%-3%)/(1+3%)=1,94%. A nie 2%. Różnica niewielka, bo i procenty niewielkie, ale przy dłuższych analizach i większych zyskach i inflacji to będzie robić pewną różnicę. Warto liczyć poprawnie.
Wróćmy do naszego wzoru i przyjmijmy inflację średnioroczną na poziomie 2% (dla potrzeb obliczeń):
- zamiast: inwestycja która zarabia 8% rocznie podwoi kapitał po 9 latach (ponieważ: 72/8=9)
- było: inwestycja która zarabia 6,48% rocznie (8% minus 19%podatku) podwoi kapitał po 11 latach i 2 miesiącach (ponieważ: 72/6,48=11,1)
- będzie: inwestycja która zarabia 4,39% rocznie ponad inflację (8% minus 19%podatku i uwzględniając inflację 2%) podwoi kapitał po 16 latach i 5 miesiącach (ponieważ: 72/3,39=16,4 gdzie 4/10 to około 5/12 – stąd 5 a nie 4 miesiące)
Różnica jak widzisz jest istotna. Z 9 lat zrobiło nam się ponad 16.
Zauważ że Reguła 72 cały czas działa poprawnie. To tylko błędne (a raczej uproszczone) dane są błędnie podstawiane do tego wzoru…
Czas na nowe wzory!
Zamiast liczyć ręcznie można użyć wzorów, które wyprowadziłem. Niestety nie są tak proste jak Reguła 72, ale – jak pokazałem w artykule – pominięcie inflacji i podatku rujnuje obliczenia. Nie przejmuj się logarytmami, które pojawiają się we wzorach. Każdy Excel czy lepszy kalkulator sobie z tym poradzi.
Wzór jest całkiem prosty (ale używa logarytmu dziesiętnego – nie policzysz tego w pamięci :))
Jeżeli teraz pod pojęciem „zysk” uwzględnimy podatek i wpływ inflacji otrzymujemy dokładny wzór do obliczenia czasu na podwojenie kapitału uwzględniając podatek (19%) oraz inflację wygląda następująco:
Gdzie – już ostatecznie możemy zrobić proste przekształcenie:
Warto sprawdzić czy działa.Zadajmy sobie pytanie:
W ile lat podwoję pieniądze na lokacie 7% przy 3% średniorocznej inflacji?
Poprawna i dokładna odpowiedź to: w 27 lat i 1 miesiąc (27,08 roku).
- Uproszczona odpowiedź wg reguły 72 to: 72/2,5922 to: w 27 lat i 9 miesięcy (27,77 roku).
- Różnica w wynikach nie jest tutaj duża (wyliczony czas na podwojenie kapitału różni się o 2,5%) – ponieważ procenty nie były wysokie. Przy wyższych procentach rozbieżności będą większe.
Sprawdzamy wzorem na łączny zysk. Czyli czy podany zysk w 27 lat da wynik 100% (czyli podwojenie kapitału).
Zgadza się! Tym samym znasz już dokładny wzór na rzeczywiste podwojenie kapitału.
Sprawdźmy jeszcze jaka będzie rozbieżność między dokładnym (wg mojego wzoru) a uproszczonym (Reguła 72%) wynikiem w przypadku większych procentów. Na przykład takie zadanie:
Poprawna i dokładna odpowiedź to: w 4 lata i 2 miesięcy (4,21 roku).
- Uproszczona odpowiedź wg reguły 72 to: 72/17,89 to: w 4 lata (4,02 roku).
- Różnica w wynikach jest wyraźnie większa (wyliczony czas na podwojenie kapitału różni się o 4,21/4,02-1=4,7%)
Jak duży błąd generuje uproszczona reguła 72?
W finansach i matematyce warto wszytko sprawdzić. Szczególnie gdy wszystko da się policzyć. Wykorzystując Excela policzyłem i porównałem czasy na podwojenie kapitału z wykorzystaniem Reguły 72 oraz poprawnego dokładnego wzoru opartego o logarytmy.
W analizie uwzględniłem zyski (już po opodatkowaniu i uwzględnieniu inflacji) w przedziale od 0% do +50%.
Dlaczego nie brałem pod uwagę wyników ujemnych?
Przecież w trakcie paradoksu inflacyjnego (a ten akurat mamy w momencie pisania tego artykułu) zyski z np. lokat bankowych są dużo niższe niż inflacja, a tym samym realny wynik z inwestycji jest ujemny (zarabiamy mniej niż wynosi inflacja.
Z dwóch powodów:
- logiczny: nie można próbować liczyć po ilu latach podwoję inwestowany kapitał jeżeli realny zysk co roku jest ujemny… Kapitał co roku maleje a tym samym nie można mówić o jego pomnażaniu
- matematyczny: logarytmu nie można wyliczać z liczb ujemnych (ok … w zasadzie można ale tylko na poziomie liczb urojonych)
Wszyscy mamy nadzieję że wysoka inflacja 2022 będzie krótkotrwała. Poza tym przy długoterminowych inwestycjach polecam używać inflacji średniorocznej, a ta (nawet przy prawie 18% inflacji w listopadzie 2022) średniorocznie za ostatnie 20 lat wyniosła 3,6%. Takie małe pocieszenie.
A skąd te logarytmy we wzorze?
Pojawiły się w wyniku wyprowadzania wzoru na czas na podwojenie kapitału. Oto jak to zrobiłem.
Znamy wzór na wartość inwestycji na kwotę x o określonym oprocentowaniu w ciągu n lat (zwykły wzór na procent składany). Uwaga – we wzorze nie ma na końcu odejmowanej jedynki – ponieważ nie mówimy tu o zysku w procentach tylko o wartości inwestycji (czyli to co zostaje po n latach to kapitał plus zyski).
Tak wygląda wyprowadzenie wzoru z komentarzem:
Do wzoru jako zysk_roczny można już podstawiać dowolne wartości: może to być zysk bez uwzględniania podatku (np. inwestycja w formie IKE) lub z uwzględnieniem podatku. Można uwzględnić inflację lub nie uwzględniać. A można uwzględniać oba elementy (podatek i inflacja).
Wtedy po prostu do wzoru zamiast zysk_roczny podstawić wzór na zysk roczny z uwzględnieniem inflacji i podatku. I jeżeli inwestycja np jest w formie IKE (bez podatku) to po prostu jako podatek w wyliczeniach wpiszesz zero.
Wzór na zysk z inflacją i podatkiem był już w tym artykule – dla przypomnienia:
Co po podstawieniu do głównego wzoru i dalszych przekształceniach:
Da ostateczny wynik:
Podsumowanie
- Reguła 72 jest świetnym sposobem na szybkie obliczenia czasu na podwojenie kapitału. Warto tylko pamiętać aby jako oprocentowanie podstawić do niej oprocentowanie pomniejszone o podatek, a następnie skorygowane o inflację.
- Różnica w wynikach w porównaniu do dokładnego wzoru (opartego o logarytmy) jest do zaakceptowania jeżeli wartość zysku podstawianego do wzoru jest niższa od 20% – wtedy rozbieżność wyników jest nie większa niż 6%. Czyli akceptowalna.
- Warto po prostu wiedzieć że Reguła 72 jest uproszczonym (i pięknym w swojej prostocie) sposobem – i że wyniki nie są 100% dokładne. Chyba że mówimy o oprocentowaniu dokładnie 8% – wtedy Reguła 72 daje wynik bliski idealnemu
- I móc korzystać z gotowego wzoru opartego o logarytmy
To już koniec tortur matematycznych. Wróćmy do XV wieku
Wspomniany Luca Pacioli znany jest ze swojej największej publikacji, której poświęcił wiele lat życia.
To dzieło: Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità z 1494 roku. Na ponad 600 stronach zebrał wiele informacji z algebry, geometrii, rachunkowości czy też zasad kupiectwa.
Przeglądanie kart tej księgi (dostępna w Google Books) jest fascynujące. Treść jest pisana jednym ciągiem, a obliczenia, przykłady graficznego przełożenia pewnych operacji liczbowych na grafy czy też inne linie, macierze itp znajdują się na marginesie tekstu. Widać poszukiwania zależności arytmetycznych z geometrią. Jeżeli lubisz takie klimaty samo przejrzenie tej księgi daje sporo frajdy. Mi dało! Pisana jest po włosku (nie po łacinie).
Warto tutaj wspomnieć, że Pacioli uznawany jest za ojca zapisu księgowego: Winien / Ma (zasada podwójnego zapisu).
W księdze znajdziemy praktyczne zastosowania matematyki:
Fragmenty być może inspirowane znajomością z Leonardo da Vinci:
W 500 lat po I wydaniu książki poczta włoska umieściła Pacciolego na znaczku pocztowym:
Książka jest czasem do kupienia 🙂
Egzemplarz z pierwszego wydania Summae… w 2019 roku sprzedano na aukcji domu Christies za 1,25 mln $.
Ale kolejne wydania – jak np. z okolic 1590 roku były na aukcji Sotheby z wyjściową ceną około 20.000$.
Na koniec życiorys autora Reguły 72
Dodatkowe źródła wiadomości o Luca Paciolim
- Bardzo dokładne omówienie tematu podwójnego zapisu w rachunkowości w dziełach Paciolego, szczegółów z jego życiorysu i wielu innych dostępne jest w publikacji: Z historii rachunkowości Księgowość podwójna według Pacioliego i jego włoskich naśladowców z XVI i XVII wieku autorstwa: SŁAWOMIR SOJAK i MONIKA KOWALSKA. Udostępniam ją do pobrania w pliku .pdf
- Sporo informacji na temat pracy Paciolego dostępne jest także w publikacji Problematyka etyczna w pierwszych dziełach o rachunkowości
Autor: Małgorzata Garstka. Udostępniam do pobrania w pliku .pdf - Monogracia Edyty Łazarowicz – Historia powstania księgowości podwójnej i rachunku kosztów. Udostępniam do pobrania w pliku .pdf
- Czy też w artykule Luca Pacioli – Prekursor dydaktyki w rachunkowości, gdzie Stanisław Hońko m.in. podaje kolejne elementy życiorysu Paciolego. Udostępniam do pobrania w pliku .pdf
- Książka Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità jest dostępna w Googl Books w formie zeskanowanej. Samo przeglądanie tej publikacji jest jak podróż w przeszłość! Oto link.
- Ciekawy skrót informacji o Luca Pacciolim jest na stronie Encyklopedii Zarządzania mfiles.
